Mécanique

Le cours de mécanique est somme toute sommaire mais il convient de maîtriser parfaitement certaines notions et méthodes.

Position, vitesse, accélération

Repérer un objet dans l'espace peut se faire d'une infinité de manière différente. De fait, on peut choisir une infinité de triplet d'axes orthogonaux pour repérer un point de l'espace. Ainsi, la position est une notion relative, c'est-à-dire qu'elle dépend d'un choix, d'une convention. Un exemple classique est le choix de systèmes de coordonnées. Un point \(M\) peut être repéré dans les trois systèmes de coordonnées que l'on voit habituellement en prépa : les coordonnées cartésiennes, cylindriques et sphériques.

Effectivement, un même vecteur peut être exprimé dans les différentes systèmes de coordonnées :

\[ \begin{align*} \overrightarrow{A} &= a_x \overrightarrow{e_x} + a_y \overrightarrow{e_y}+ a_z \overrightarrow{e_z}\\ &=a_r \overrightarrow{e_r} + a_{\theta} \overrightarrow{e_{\theta}} + a_z \overrightarrow{e_z}\\ &= a_r \overrightarrow{e_r} + a_{\theta} \overrightarrow{e_{\theta}} + a_{\phi}\overrightarrow{e_{\phi}} \end{align*} \]

Il existe un lien entre toutes ces grandeurs, mais ce qui est le plus important est que toutes ces écritures sont équivalentes. En d'autres termes, ces différentes expressions sont différentes façons de désigner un unique vecteur dans plusieurs bases. En particulier, ces formules ne sont pas à retenir. Ce qu'il faut néanmoins savoir est comment changer de base.

Imaginons qu'on a \(\overrightarrow{A} = a_x \overrightarrow{e_x} + a_y \overrightarrow{e_y}+ a_z \overrightarrow{e_z}\) et qu'on veuille son expression dans la base \((\overrightarrow{e_r}, \overrightarrow{e_{\theta}}, \overrightarrow{e_z})\). Il est absolument primordial de visualiser que le produit scalaire \(\overrightarrow{A}.\overrightarrow{e_r}\) donne la projection de \(\overrightarrow{A}\) sur la direction définie par \(\overrightarrow{e_r}\). En d'autres termes, ce produit scalaire donne la "partie" de \(\overrightarrow{A}\) qui est selon \(\overrightarrow{e_r}\).

Quelques définitions s'imposent, bien que déjà vues dans le secondaire.

Attention, une erreur courante consiste à oublier que l'on n'a pas toujours :

\[ \frac{d}{dt}\left[k(t)\overrightarrow{u}\right] = \frac{dk}{dt}\overrightarrow{u} \]

De fait, si le vecteur \(\overrightarrow{u}\) varie dans le temps (il peut tourner, avoir une norme qui varie…) alors il faut aussi le dériver. En particulier, comme les vecteurs \(\overrightarrow{e_r}\) et \(\overrightarrow{e_{\theta}}\) sont définis pour une position donnée, ils varient avec le temps. Il faut donc les dériver.

Mouvements classiques

Quelques qualificatifs qu'il convient de connaître sont employés pour qualifier un mouvement.

On peut remarquer ici que dans le cas d'un mouvement uniforme, comme \(||\overrightarrow{v}||\) est constante, alors \(||\overrightarrow{v}||^2\) l'est aussi. Dès lors :

\[ \frac{d}{dt}(||\overrightarrow{v}||^2) = 2\overrightarrow{v}. \frac{d \overrightarrow{v}}{dt} = 2 \overrightarrow{v}.\overrightarrow{a} \cos(\theta) = 0 \]

avec \(\theta\) l'angle entre \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{a}\). Ainsi, on remarque que si \(\overrightarrow{v} \neq 0\) et \(\overrightarrow{a} \neq 0\) alors nécessairement \(\theta = \pm \frac{\pi}{2}\). On retiendra que dans un mouvement uniforme, accélération et vitesse sont orthogonales.

Un mouvement très courant est le mouvement circulaire. Habituellement, on se place dans le plan du cercle, de centre noté O et de rayon \(R\), et on utilise les coordonnées polaires de centre O. Alors, le mouvement, comme il est contenu dans un plan (espace à deux dimensions), est décrit par deux paramètres :

\[ \begin{cases} r = R\\ \theta(t) \end{cases} \]

Comme le mouvement est sur un cercle, on a : \(r=R\). En particulier, on pensera au fait que, comme \(r\) est constant, ses dérivées temporelles sont nulles :

\[ \begin{cases} \dot{r} = 0\\ \ddot{r} = 0 \end{cases} \]

On vérifiera que l'on connaît les formes des accélération et vitesse en coordonnées polaires pour une trajectoire circulaire.

Quantité de mouvement, force

La dynamique a pour objet d'identifier les causes et l'origine d'un mouvement. Pour cela, deux grandeurs sont centrales :

• La quantité de mouvement \(\overrightarrow{p}\), ou plus souvent la vitesse \(\overrightarrow{v}\)
• Les forces

La quantité de mouvement d'un point matériel est une grandeur centrale de la mécanique car elle est liée à la résultante des forces appliquées au point matériel par le principe fondamental de la dynamique.

Le principe fondamental ne s'applique que dans des référentiels galiléens, qui sont une certaine classe de référentiel dans lequel le principe d'inertie s'applique. L'étude de la mécanique en référentiel non-galiléen se fait en deuxième année, on fera donc l'hypothèse d'être toujours placé dans un référentiel galiléen.

Frottement solide

Dans le cas d'un mouvement d'un point matériel par rapport à un solide, les deux étant en contact, des frottements solides sont susceptibles d'apparaître. Dans ce cas, on écrit la force \(\overrightarrow{R}\) appliquée par le solide sur le point matériel selon :

\[ \overrightarrow{R} = \overrightarrow{N} + \overrightarrow{T} \]

avec \(\overrightarrow{T}\) la "partie" tangentielle à la surface de la force et \(\overrightarrow{N}\) la "partie" normale.

Pour traiter ce type de situation, on utilise les lois de Coulomb pour le frottement solide.

Dans le cas du glissement, la loi de Coulomb donne une équation supplémentaire qu'il convient d'utiliser pour résoudre le système.

Dynamique

L'idée principale ici est d'obtenir l'équation du mouvement, c'est-à-dire une équation qui caractérise entièrement le mouvement du système étudié. Pour ce faire, on peut utiliser trois principaux théorèmes, tous équivalents.

Principe fondamental de la dynamique

On considère un système de masse constante m en mouvement dans un référentiel galiléen. Alors, on a :

\[ m \frac{d\overrightarrow{v}}{dt} = \sum \overrightarrow{F} \]

Théorème du moment cinétique

Quelques définitions à connaître absolument.

\[ \frac{d \overrightarrow{\mathcal{L}_O}}{dt} = \sum \overrightarrow{\mathcal{M}}_O (\overrightarrow{F}) \]

Pour obtenir le théorème du moment cinétique, il suffit de choisir un point fixe O du référentiel d'étude et de prendre le produit vectoriel de \(\overrightarrow{OM}\) avec le principe fondamental de la dynamique :

\[ \overrightarrow{OM} \wedge m \frac{d\overrightarrow{v}}{dt} = \overrightarrow{OM} \wedge \sum \overrightarrow{F} \]

En utilisant : \(\frac{d}{dt}(\overrightarrow{OM} \wedge \overrightarrow{v}) = \overrightarrow{v} \wedge \frac{d\overrightarrow{OM}}{dt} +\overrightarrow{OM} \wedge \frac{d\overrightarrow{v}}{dt} = \overrightarrow{v} \wedge \overrightarrow{v} + \overrightarrow{OM} \wedge \frac{d\overrightarrow{v}}{dt} = \overrightarrow{OM} \wedge \frac{d\overrightarrow{v}}{dt}\), on remarque que le terme de gauche correspond à la dérivée temporelle du moment cinétique et le terme de droite, en développant le produit vectoriel, donne la somme des moments des forces.

Théorème de l'énergie cinétique

Quelques définitions à connaître absolument.

\[ \frac{d \mathcal{E}_C}{dt} = \sum \mathcal{P}(\overrightarrow{F}) \]

Le théorème de l'énergie cinétique peut aussi s'écrire :

\[ \Delta \mathcal{E}_C = \sum \mathcal{W}(\overrightarrow{F}) \]

Méthodologie — Déterminer l'équation du mouvement

Habituellement, on peut trouver l'équation du mouvement de trois manières différentes : en utilisant à chaque fois un des théorèmes/principes précédents. Peu importe la méthode choisie, on suivra la même méthodologie qui permet de résoudre la plupart des exercices.

On considèrera un pendule simple de masse m comme exemple.

Principe fondamental de la dynamique

Système : {masse m}
Référentiel : du laboratoire supposé galiléen
Bilan des forces :

• Poids : \(\overrightarrow{P} = mg \overrightarrow{e_z} = mg [\cos(\theta)\overrightarrow{e_r} - \sin(\theta)\overrightarrow{e_{\theta}}]\)
• Tension du fil : \(\overrightarrow{T} = -T \overrightarrow{e_r}\)

On calcule l'accélération comme vu plus haut pour un mouvement circulaire :

\[ \overrightarrow{a} = l\dot{\theta}^2\overrightarrow{e_r} + l\ddot{\theta}\overrightarrow{e_{\theta}} \]

On applique le principe fondamental de la dynamique :

\[ m \left[ l\dot{\theta}^2\overrightarrow{e_r} + l\ddot{\theta}\overrightarrow{e_{\theta}} \right] = mg [\cos(\theta)\overrightarrow{e_r} - \sin(\theta)\overrightarrow{e_{\theta}}] -T \overrightarrow{e_r} \]

En projetant sur \(\overrightarrow{e_{\theta}}\) et en divisant par m :

\[ \fbox{$\ddot{\theta} + \dfrac{g}{l}\sin(\theta) = 0$} \]

Théorème du moment cinétique

Système : {masse m}
Référentiel : du laboratoire supposé galiléen
Bilan des forces :

• Poids : \(\overrightarrow{M} (\overrightarrow{P}) = -l\sin(\theta) \overrightarrow{e_z}\)
• Tension du fil : \(\overrightarrow{M} (\overrightarrow{T}) = \overrightarrow{0}\)

On détermine le moment cinétique :

\[ \overrightarrow{\mathcal{L}_O} = \overrightarrow{OM} \wedge m\overrightarrow{v} = l\overrightarrow{e_r}\wedge m l\dot{\theta} \overrightarrow{e_{\theta}} = ml^2 \dot{\theta} \overrightarrow{e_z} \]

Puis sa dérivée temporelle :

\[ \frac{d\overrightarrow{\mathcal{L}_O}}{dt} = ml^2 \ddot{\theta} \overrightarrow{e_z} \]

On applique le théorème du moment cinétique ce qui nous donne en simplifiant par m et l :

\[ \fbox{$\ddot{\theta} + \dfrac{g}{l}\sin(\theta) = 0$} \]

Théorème de l'énergie cinétique

Système : {masse m}
Référentiel : du laboratoire supposé galiléen
Bilan des forces :

• Poids : \(\mathcal{P} (\overrightarrow{P}) = -mgl\sin(\theta)\dot{\theta}\)
• Tension du fil : \(\mathcal{P} (\overrightarrow{T}) = 0\)

On détermine l'énergie cinétique :

\[ \mathcal{E}_c = \frac{1}{2}m \left(l\dot{\theta} \right)^2 = \frac{1}{2}ml^2\dot{\theta}^2 \]

Puis sa dérivée temporelle :

\[ \frac{d\mathcal{E}_c}{dt} = ml^2\ddot{\theta}\dot{\theta} \]

On applique le théorème du moment cinétique ce qui nous donne en simplifiant par m, \(\dot{\theta}\) (qui est par hypothèse non-nul, faute de quoi on n'aurait tout simplement pas de mouvement) et l :

\[ \fbox{$\ddot{\theta} + \dfrac{g}{l}\sin(\theta) = 0$} \]

Force centrale

Une force centrale est une force qui "pointe" toujours vers un point fixe O. Pour un système soumis à une telle force uniquement, on applique le théorème du moment cinétique :

\[ \frac{d \overrightarrow{\mathcal{L}_O}}{dt} = \sum \overrightarrow{M}_O (\overrightarrow{F}) = \overrightarrow{0} \]

En effet, étant orthogonale au mouvement (qui est selon \(\overrightarrow{e_{\theta}}\)), son moment est nul. De ce fait, le moment cinétique est constant, à la fois en norme et en direction. Comme la direction est constante et que le mouvement est compris dans le plan orthogonal au moment cinétique, le mouvement est plan. Comme la norme du moment cinétique est constante, on peut définir la constante des aires \(\mathcal{C}\) :

\[ \fbox{$\mathcal{C} = \dfrac{\mathcal{L}_O}{m} = l^2 \dot{\theta}$} \]

Dans le cas d'un système soumis à une unique force centrale ou à un ensemble de forces centrales, le mouvement est plan et la constante des aires est bien une constante.

Énergie potentielle effective

Considérons un système soumis à une unique force centrale \(\overrightarrow{f}\), qui plus est conservative. Ainsi :

\[ \delta \mathcal{W}(\overrightarrow{f}) = -d\mathcal{E}_p(M) \]

En se plaçant en coordonnées polaires (le mouvement est plan, cf. plus haut), on exprime le déplacement élémentaire :

\[ \overrightarrow{dl} = dr\overrightarrow{e_r} + rd\theta \overrightarrow{e_{\theta}} \]

Alors, le travail précédemment exprimé se réécrit :

\[ \overrightarrow{f}.\overrightarrow{dl} = f(r)dr = -d\mathcal{E}_p (M) \]

Ainsi, l'énergie potentielle associée à \(\overrightarrow{f}\) n'est fonction que de r. La vitesse de notre système en coordonnées polaires s'exprime :

\[ \overrightarrow{v} = \dot{r}\overrightarrow{e_r} + r\dot{\theta} \overrightarrow{e_{\theta}} \]

Écrivons donc l'énergie mécanique de notre système :

\[ \begin{align*} \mathcal{E}_m &= \frac{1}{2}mv^2 + \mathcal{E}_p (r)\\ &= \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \frac{1}{2}m\underbrace{r^2\dot{\theta}^2}_{\frac{\mathcal{C}}{r^2}} + \mathcal{E}_p (r)\\ &= \frac{1}{2}m\dot{r}^2 + \underbrace{\frac{1}{2}m\frac{\mathcal{C}}{r^2} + \mathcal{E}_p (r)}_{\mathcal{E}_{p, eff}(r)}\\ \end{align*} \]

Ainsi, l'énergie mécanique se met sous la forme de celle d'un système conservatif à un degré de liberté, moyennant le remplacement de l'énergie potentielle par l'énergie potentielle effective.

Questions de cours