Optique géométrique
Introduction et contexte
La lumière est un phénomène fondamentalement corpusculaire et ondulatoire, c'est-à-dire que, par certains aspects, la lumière se comporte comme une onde, et par certains autres, elle se comporte comme un ensemble de corpuscules, les photons. L'optique géométrique est un cadre d'approximation qui revient à négliger les effets ondulatoires de la lumière. Cette approximation est justifiée si la longueur d'onde \(\lambda\) et la taille caractéristique des objets d'optique (taille de trous, distances focales de lentilles, ...) \(L\) respectent :
\[ L \gg \lambda \]Dans tout ce chapitre, on se place dans des milieux qui sont, sauf mention contraire, supposés homogènes et isotropes. Dans de tels milieux, les rayons lumineux sont des droites. Dans une suite de milieux homogènes isotropes, un rayon lumineux sera une suite de portions de droite.
Un milieu est homogène si les propriétés physiques (indice, densité, ...) sont identiques en tout point de l'espace.
Un milieu est isotrope s'il n'y a pas de direction de propagation privilégiée. Dans ce cas, les propriétés physiques sont identiques dans toutes les directions.
Une autre notion primordiale, qui sera justifiée en deuxième année, est le principe de retour-inverse de la lumière. De fait, les équations régissant la propagation de la lumière sont invariantes par renversement du temps (\(t \mapsto -t\)), ce qui veut dire que la lumière suit le même chemin, qu'elle se propage dans un sens ou dans l'autre sur le rayon lumineux.
Objet, image
La notion de réalité est essentielle, elle servira à distinguer un objet virtuel d'un objet réel ou encore une image réelle d'une image virtuelle.
L'espace objet est la partie de l'espace situé avant la face d'entrée du système optique que l'on étudie. Tout système optique situé dans cet espace sera donc considéré comme un objet. Un objet réel est un objet situé avant la face d'entrée du système optique, les rayons lumineux en "sortent". Un objet virtuel est un objet situé après la face d'entrée du système optique, les rayons lumineux semblent converger en ce point.
L'espace image est la partie de l'espace situé après la face de sortie du système optique que l'on étudie. Tout système optique situé dans cet espace sera donc considéré comme une image. Une image réelle est une image située après la face de sortie du système optique, les rayons lumineux y convergent. Une image virtuelle est une image située avant la face de sortie du système optique, les rayons lumineux semblent converger en ce point.
Plus pragmatiquement, un objet réel est un objet que l'on peut toucher avec ses mains et une image réelle est une image que l'on peut recueillir directement sur un écran sans utiliser un autre système optique (sans lentille de projection en particulier).
Réflexion, réfraction
La réfraction consiste en un brusque changement de direction de propagation de la lumière à la traversée d'une surface réfringente, après quoi le rayon se propage dans un milieu différent. Similairement, la réflexion correspond à un brusque changement de direction de propagation, cette fois-ci dû à la rencontre d'une surface réfléchissante, le rayon revient après cette rencontre dans le milieu de propagation initial.
Réflexion et réfraction obéissent aux lois de Snell-Descartes :
- Les rayons incident, réfracté et réfléchi sont dans le même plan : le plan d'incidence.
- Les angles d'incidence \(i_1\) et réfléchi \(r\) vérifient : \[ \fbox{$i_1 = -r$} \]
- Les angles incident \(i_1\) et réfracté \(i_2\) vérifient : \[ \fbox{$n_1 \sin(i_1) = n_2 \sin(i_2)$} \] Avec \(n_1\) l'indice du milieu d'incidence et \(n_2\) l'indice du milieu d'émergence.
Pour aller plus loin, on peut justifier l'origine de cette formule. Pour cela on s'appuiera sur le fait qu'un rayon lumineux tend à minimiser le temps de parcours à distance fixée.
Deux situations classiques sont à connaître :
Réflexion totale. Si on a \(n_2 < n_1\), le rayon réfracté "s'éloigne de la normale" à mesure que \(i_1\) croît. Ainsi, on a toujours \(i_1 < i_2\), et on cherche l'angle \(i_1^{lim}\) tel que \(i_2 = \frac{\pi}{2}\). Pour ce faire, on utilise les lois de Snell-Descartes :
\[ n_1 \sin(i_1^{lim}) = n_2 \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = n_2 \] \[ \sin(i_1^{lim}) = \frac{n_2}{n_1} \]On obtient l'angle limite en appliquant l'arcsin :
\[ \fbox{$i_1^{lim} = \arcsin\left(\frac{n_2}{n_1}\right)$} \]Réfraction limite. Dans le cas où \(n_1 n_2\), le rayon réfracté est toujours "plus proche" de la normale que le rayon incident : \(i_2 \leq i_1\). Ainsi, quand \(i_1\) s'approche de l'incidence rasante (\(i_1 \to \frac{\pi}{2}\)), on atteint une valeur maximale \(i_2^{max}\). On applique Snell-Descartes :
\[ n_1 \sin(i_1) = n_1 = n_2 \sin(i_2^{max}) \] \[ \sin(i_2^{max}) = \frac{n_1}{n_2} \]Ce qui donne, en passant à l'arcsin :
\[ \fbox{$i_2^{max} = \arcsin\left(\frac{n_1}{n_2}\right)$} \]Stigmatisme, aplanétisme
Deux grandes caractéristiques des systèmes optiques sont à connaître.
Un système est dit aplanétique si l'image d'un objet inclus dans un plan orthogonal à l'axe optique est incluse dans un plan orthogonal à l'axe optique.
Un système est dit stigmatique si l'image d'un point objet est un point.
Dans la plupart des cas, stigmatisme et aplanétisme ne sont pas rigoureux : ils sont approchés, mais à quelles conditions ?
Les conditions pour un stigmatisme et un aplanétisme approchés sont appelées les conditions de Gauss :
- Les rayons lumineux font un angle petit avec l'axe optique : on dira que les rayons sont paraxiaux.
- Les rayons lumineux rencontrent le système proche de l'axe optique.
Formules de conjugaison
Géométriquement, on obtient certaines relations particulièrement utiles par l'application du théorème de Thalès.
- Relation avec origine au foyer, dite relation de Newton : \[ \fbox{$\overline{F'A'} \times \overline{FA} = -f'^2$} \] Où \(F'\) est le foyer image, \(F\) le foyer objet, \(A\) le point objet et \(A'\) son point image conjugué, et \(f'\) la distance focale de la lentille.
- Relation avec origine au centre, dite relation de Descartes : \[ \fbox{$\dfrac{1}{\overline{OA'}} - \dfrac{1}{\overline{OA}} = \dfrac{1}{f'}$} \] Avec \(O\) le centre de la lentille.
Une dernière définition est importante, car elle est souvent utilisée dans les exercices, celle du grandissement.
Le grandissement est une grandeur caractéristique d'un système optique, notamment d'une lentille. Il est défini comme suit :
\[ \fbox{$\gamma = \dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}$} \]Règles de construction essentielles
Ces règles de construction sont essentielles à tout exercice de construction de rayons lumineux.
Règles de construction.
- Un rayon passant par le centre optique n'est pas dévié.
- Un rayon incident parallèle à l'axe optique donne un rayon émergent qui passe par le foyer image.
- Un rayon passant (ou dont le prolongement passe) par le foyer objet donne un rayon émergent parallèle à l'axe optique.
- Deux rayons incidents parallèles donnent deux rayons émergents qui se croisent dans le plan focal image.
- Deux rayons incidents se croisant (ou dont le prolongement se croise) dans le plan focal objet donnent deux rayons émergents parallèles.
Exemples à maîtriser
Il est important de maîtriser les systèmes optiques classiques que sont :
- La lunette astronomique
- L'appareil photo
- Le prisme (pour les TP de goniomètre)